Usando a definição de limite prove que:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de 2, a função
se aproxima de 3. Isso envolve entender o que é limite e como aplicar a definição formal para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que
se, para todo número pequeno
, conseguimos encontrar outro número pequeno
tal que, sempre que
, então
.
No nosso caso, queremos provar que:
Então,
e
. Vamos assumir um
e encontrar um
em função de
que satisfaça a condição acima.
Passo 3
Começamos com a desigualdade que queremos fazer valer:
Nosso objetivo é relacionar isso com
. Para facilitar, vamos manipular a expressão:
Multiplicamos e dividimos pela conjugada para eliminar a raiz:
Agora, queremos que:
Para simplificar, precisamos ter uma estimativa inferior para
. Sabemos que quando
está perto de 2,
está perto de 3. Podemos supor que
, o que implica
. Assim:
Portanto,
está entre
e
. Podemos então considerar
.
Então:
Porém, também estabelecemos que
. Então, para garantir ambas as condições, escolhemos:
Passo 4
Resumindo, para qualquer
, escolhemos
. Assim, sempre que
, teremos:
Isso confirma que, de acordo com a definição de limite,
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, provamos que
.