Usando a definição de limite prove que:
f) lim x 2 raizx+7=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de 2, a função se aproxima de 3. Isso envolve entender o que é limite e como aplicar a definição formal para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que limx to 2 raizx + 7 = 3 se, para todo número pequeno , conseguimos encontrar outro número pequeno tal que, sempre que , então .
No nosso caso, queremos provar que:
Então, e . Vamos assumir um e encontrar um em função de que satisfaça a condição acima.

Passo 3

Começamos com a desigualdade que queremos fazer valer:
|raizx + 7 - 3| < epsilon
Nosso objetivo é relacionar isso com |raizx + 7 - 3| < epsilon . Para facilitar, vamos manipular a expressão:
|raizx + 7 - 3| = |x + 7 - 9||raizx + 7 + 3| = |x - 2||raizx + 7 + 3|
Multiplicamos e dividimos pela conjugada para eliminar a raiz:
|x - 2||raizx + 7 + 3| < epsilon
Agora, queremos que:
raiz1 + 7 = raiz8 approx 2.828 e raiz3 + 7 = raiz10 approx 3.162
Para simplificar, precisamos ter uma estimativa inferior para |x - 2|5.828 < epsilon Rightarrow |x - 2| < 5.828 epsilon . Sabemos que quando de está perto de 2, está perto de 3. Podemos supor que , o que implica . Assim:
Portanto, está entre e . Podemos então considerar .
Então:
Porém, também estabelecemos que . Então, para garantir ambas as condições, escolhemos:

Passo 4

Resumindo, para qualquer |raizx + 7 - 3| < epsilon , escolhemos . Assim, sempre que , teremos:
Isso confirma que, de acordo com a definição de limite, .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, provamos que .

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