Vamos resolver o exercício que pede para provar, usando a definição de limite, que:
Aqui, estamos lidando com o conceito de limite de uma função. Para resolver isso, vamos usar a definição formal de limite, que basicamente nos diz como o valor da função se comporta à medida que x se aproxima de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite. Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso, , e . Precisamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um que faz sempre que .
Passo 3
Vamos começar manipulando a expressão para encontrar uma relação entre e .
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o quadrado:
8x+1x+3 - 3raiz8x+1x+3 + 94 < epsilon^2
Isso pode parecer complicado, então vamos tentar simplificar de outra forma.
Passo 4
Uma abordagem mais simples é considerar a diferença diretamente:
|raiz8x+1x+3 - 32| < epsilon
Para facilitar, vamos isolar a raiz:
raiz8x+1x+3 < 32 + epsilon
E também:
raiz8x+1x+3 > 32 - epsilon
Elevando ambos os lados ao quadrado:
8x+1x+3 < (32 + epsilon)^2
e
8x+1x+3 > (32 - epsilon)^2
Passo 5
Agora, vamos resolver essas duas desigualdades para encontrar um intervalo para x.
Primeiro, resolvemos:
8x+1x+3 < (32 + epsilon)^2
Multiplicando ambos os lados por x + 3 (assumindo que x + 3 > 0, o que é válido perto de x = 1):
8x + 1 < (32 + epsilon)^2 (x + 3)
Fazendo uma análise semelhante para a segunda desigualdade, teremos outra relação envolvendo x e ε.
Passo 6
Para simplificar, vamos escolher de pequeno o suficiente para garantir que x esteja próximo de 1 e evitar complicações com o denominador x + 3. Por exemplo, podemos escolher de, o que garante que x está no intervalo (0, 2), e assim x + 3 está entre 3 e 5, evitando divisões por números muito pequenos.
Passo 7
Com essas considerações, finalmente definimos de em termos de epsilon. Escolhemos:
de
Isso significa que, se escolhemos de dessa forma, sempre que 0 < |x - 1| < de, a desigualdade |raiz8x+1x+3 - 32| < epsilon será satisfeita.