Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
(a) f(x) = raiz(3 x^5 + 7),

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a sua derivada usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções básicas e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Lembrando que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de :
Aqui, a função externa é e a função interna é .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como a regra da cadeia funciona. Se temos uma função composta , então a derivada é:
Ou seja, a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 4

Vamos identificar as funções e na nossa expressão:
Primeiro, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos derivar em relação a :

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia, juntamos as derivadas que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão multiplicando os termos:

Resposta

A derivada da função é:

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