Determine as constantes
e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
e
Essas duas funções devem ter uma tangente em comum no ponto
. Isso significa que, no ponto
, as duas curvas não só passam por esse ponto, mas também têm a mesma inclinação (ou seja, a mesma derivada) nesse ponto. Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que as duas funções passam pelo ponto
. Isso significa que, quando
,
para ambas as funções. Vamos substituir
por
em cada equação e igualar a
.
Para a primeira função:
Para a segunda função:
Passo 3
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar
,
e
.
Da segunda equação:
Passo 4
Com o valor de
encontrado, vamos voltar para a primeira equação para encontrar uma relação entre
e
:
Passo 5
Agora, precisamos garantir que as derivadas das duas funções sejam iguais no ponto
. Vamos calcular as derivadas:
Primeira função:
Segunda função:
No ponto
, as derivadas devem ser iguais:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Agora que temos
, voltamos para a equação que relaciona
e
:
Resposta
As constantes são:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada das funções:
Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries:
Determine as constantes
e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
Encontre
pela derivação implícita de: