Determine as constantes
y = x + 2a x - b e y = 4 x + c x
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
2,0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
e
Essas duas funções devem ter uma tangente em comum no ponto 2,0. Isso significa que, no ponto 2,0, as duas curvas não só passam por esse ponto, mas também têm a mesma inclinação (ou seja, a mesma derivada) nesse ponto. Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que as duas funções passam pelo ponto 2,0. Isso significa que, quando x = 2, para ambas as funções. Vamos substituir x por em cada equação e igualar a 0.
Para a primeira função:
Para a segunda função:

Passo 3

Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar a, b e c.
Da segunda equação:

Passo 4

Com o valor de c encontrado, vamos voltar para a primeira equação para encontrar uma relação entre a e b:

Passo 5

Agora, precisamos garantir que as derivadas das duas funções sejam iguais no ponto 2,0. Vamos calcular as derivadas:
Primeira função:
Segunda função:
No ponto x = 2, as derivadas devem ser iguais:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Agora que temos , voltamos para a equação que relaciona a e b:

Resposta

As constantes são:

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