Determine as constantes
e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
e
Essas duas funções devem ter uma tangente em comum no ponto . Isso significa que, no ponto , as duas curvas não só passam por esse ponto, mas também têm a mesma inclinação (ou seja, a mesma derivada) nesse ponto. Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que as duas funções passam pelo ponto . Isso significa que, quando , para ambas as funções. Vamos substituir por em cada equação e igualar a .
Para a primeira função:
Para a segunda função:

Passo 3

Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar , e .
Da segunda equação:

Passo 4

Com o valor de encontrado, vamos voltar para a primeira equação para encontrar uma relação entre e :

Passo 5

Agora, precisamos garantir que as derivadas das duas funções sejam iguais no ponto . Vamos calcular as derivadas:
Primeira função:
Segunda função:
No ponto , as derivadas devem ser iguais:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Agora que temos , voltamos para a equação que relaciona e :

Resposta

As constantes são:

Exercícios relacionados

Encontre a derivada das funções:
Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries:
Determine as constantes
e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
Encontre pela derivação implícita de: