Determine as constantes
e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
Queremos encontrar os valores das constantes , e de forma que essas duas funções tenham uma tangente em comum no ponto . Para resolver isso, precisamos verificar duas condições principais:
  1. As duas funções devem passar pelo ponto .
  2. As duas funções devem ter o mesmo coeficiente angular (slope) nesse ponto, ou seja, a mesma inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações das funções para facilitar os cálculos:
Para a primeira função:
Combine os termos semelhantes:
Para a segunda função:
Combine os termos semelhantes:
Agora, temos:

Passo 3

Vamos aplicar a primeira condição: as duas funções devem passar pelo ponto .
Substituindo e na primeira função:
çã
Substituindo e na segunda função:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda condição: as duas funções devem ter o mesmo coeficiente angular.
O coeficiente angular da primeira função é e da segunda função é .
Então:
Substituímos o valor de que encontramos:

Passo 5

Agora que temos o valor de , vamos voltar à Equação 1 para encontrar :
Substituímos :

Resposta

As constantes são:

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Determine as constantes
e
tem uma tangente em comum no ponto indicado.
Encontre a derivada das funções:
Encontre pela derivação implícita de:
Encontre pela derivação implícita de: