Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries: sumn=1^infty cos (n pi)n 3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é Séries Numéricas, especificamente os Testes de Convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sumn=1^infty cos(n pi)n cdot 3^n = sumn=1^infty (-1)^nn cdot 3^n . Sabemos que alterna entre e dependendo do valor de . Na verdade, . Então, podemos reescrever a série da seguinte maneira:

Passo 3

Agora que temos a série na forma , percebemos que ela é uma série alternada devido ao termo . Para verificar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
  1. é positiva.
  2. é decrescente.
  3. .
Vamos verificar esses pontos.

Passo 4

Primeiro, identificamos . Claramente, para todo , então a primeira condição está satisfeita.

Passo 5

Segundo, precisamos verificar se an+1 = 1(n+1) cdot 3^n+1 = 1(n+1) cdot 3 cdot 3^n = 13 cdot 1(n+1) cdot 3^n é decrescente. Vamos analisar em relação a :
Comparando com , vemos que porque estamos multiplicando por e dividindo por um número maior . Portanto, é decrescente.

Passo 6

Terceiro, calculamos o limite de limn to infty an = limn to infty 1n cdot 3^n = 0 quando tende ao infinito:
Isso ocorre porque cresce exponencialmente, muito mais rápido que , fazendo com que o termo todo tenda a zero.

Passo 7

Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série sumn=1^infty | (-1)^nn cdot 3^n | = sumn=1^infty 1n cdot 3^n converge.
Além disso, para verificar se a convergência é absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa série é uma combinação de uma série geométrica e uma série -harmônica ponderada, e é conhecida por convergir. Portanto, a série original não só converge, mas converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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