Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é Séries Numéricas, especificamente os Testes de Convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries alternadas e alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que alterna entre e dependendo do valor de . Na verdade, . Então, podemos reescrever a série da seguinte maneira:
Passo 3
Agora que temos a série na forma , percebemos que ela é uma série alternada devido ao termo . Para verificar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
é positiva.
é decrescente.
.
Vamos verificar esses pontos.
Passo 4
Primeiro, identificamos . Claramente, para todo , então a primeira condição está satisfeita.
Passo 5
Segundo, precisamos verificar se é decrescente. Vamos analisar em relação a :
Comparando com , vemos que porque estamos multiplicando por e dividindo por um número maior . Portanto, é decrescente.
Passo 6
Terceiro, calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Isso ocorre porque cresce exponencialmente, muito mais rápido que , fazendo com que o termo todo tenda a zero.
Passo 7
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.
Além disso, para verificar se a convergência é absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa série é uma combinação de uma série geométrica e uma série -harmônica ponderada, e é conhecida por convergir. Portanto, a série original não só converge, mas converge absolutamente.