Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série do tipo . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma até um número finito) ou diverge (continua crescendo sem limite). Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre séries infinitas e usar um teste de convergência, que nos ajuda a determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série. Uma série é a soma de termos que seguem uma certa regra, nesse caso, cada termo é . O símbolo “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Por exemplo, .

Passo 3

Para verificar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatoriais. O teste da razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o próximo termo e o termo atual quando k tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Agora, calculamos a razão entre e :
Simplificando os fatoriais:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando k tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge, e o teste utilizado foi o Teste da Razão.

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