Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 1(1+k)!

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série do tipo sum 1(1+k)!. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela soma até um número finito) ou diverge (continua crescendo sem limite). Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre séries infinitas e usar um teste de convergência, que nos ajuda a determinar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série. Uma série é a soma de termos que seguem uma certa regra, nesse caso, cada termo é 1(1+k)!. O símbolo “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Por exemplo, 3! = 3 times 2 times 1 = 6.

Passo 3

Para verificar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatoriais. O teste da razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o próximo termo e o termo atual quando k tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral da série:
ak = 1(1+k)!
Agora, calculamos a razão entre ak+1 e ak:
ak+1ak = 1(1+(k+1))!1(1+k)! = (1+k)!(2+k)!
Simplificando os fatoriais:
(1+k)!(2+k)! = 12+k

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando k tende ao infinito:
limk to infty 12+k = 0
Como 0 é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sum 1(1+k)! converge, e o teste utilizado foi o Teste da Razão.

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