Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o limite da sequência
. Aqui, a gente está trabalhando com sequências e limites, que fazem parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
cresce cada vez mais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar individualmente as duas funções na expressão:
e
. A função
cresce muito rápido porque a base e o expoente são iguais e aumentam juntos. Já o fatorial
também cresce rapidamente, mas de uma maneira diferente. Para comparar esses crescimentos, vamos usar uma ferramenta chamada Fórmula de Stirling, que é uma aproximação para o fatorial quando
é grande.
Passo 3
A Fórmula de Stirling nos diz que:
Vamos substituir essa aproximação na nossa expressão original:
Agora, olhamos para essa nova expressão:
. Sabemos que
cresce exponencialmente, ou seja, muito mais rápido que qualquer função polinomial como
. Portanto, à medida que
tende ao infinito, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador.
Resposta
O limite da sequência
é
.
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