Determine os limites das seguintes seqüências:
lim n infty n^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o limite da sequência lim n infty n^nn!. Aqui, a gente está trabalhando com sequências e limites, que fazem parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções n^n e n! se comportam quando n cresce cada vez mais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar individualmente as duas funções na expressão: n^n e n!. A função n^n cresce muito rápido porque a base e o expoente são iguais e aumentam juntos. Já o fatorial n! também cresce rapidamente, mas de uma maneira diferente. Para comparar esses crescimentos, vamos usar uma ferramenta chamada Fórmula de Stirling, que é uma aproximação para o fatorial quando n é grande.

Passo 3

A Fórmula de Stirling nos diz que:
n! approx raiz2pi n (ne)^n
Vamos substituir essa aproximação na nossa expressão original:
n^nn! approx n^nraiz2pi n (ne)^n = n^nraiz2pi n cdot (en)^n = e^nraiz2pi n
Agora, olhamos para essa nova expressão: e^nraiz2pi n. Sabemos que e^n cresce exponencialmente, ou seja, muito mais rápido que qualquer função polinomial como raiz2pi n. Portanto, à medida que n tende ao infinito, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador.

Resposta

O limite da sequência lim n infty n^nn! é infty.

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