Determine os limites das seguintes seqüências:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o limite da sequência . Aqui, a gente está trabalhando com sequências e limites, que fazem parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando cresce cada vez mais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar individualmente as duas funções na expressão: e . A função cresce muito rápido porque a base e o expoente são iguais e aumentam juntos. Já o fatorial também cresce rapidamente, mas de uma maneira diferente. Para comparar esses crescimentos, vamos usar uma ferramenta chamada Fórmula de Stirling, que é uma aproximação para o fatorial quando é grande.

Passo 3

A Fórmula de Stirling nos diz que:
Vamos substituir essa aproximação na nossa expressão original:
Agora, olhamos para essa nova expressão: . Sabemos que cresce exponencialmente, ou seja, muito mais rápido que qualquer função polinomial como . Portanto, à medida que tende ao infinito, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador.

Resposta

O limite da sequência é .

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