Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 3^kk^3 2^k+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sum 3^kk^3 2^k+2 converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, onde analisamos se a soma de termos infinitos tem um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Podemos reescrever o termo geral da série assim:
3^kk^3 2^k+2 = 3^k2^k cdot 2^2 cdot k^3 = 3^k2^k cdot 4 cdot k^3 = (3/2)^k4k^3
Isso facilita a análise porque agora vemos que a série possui um termo (3/2)^k que cresce exponencialmente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é bastante útil para séries com termos envolvendo potências. O teste diz que se o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, a série converge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde:
ak = (3/2)^k4k^3

Passo 4

Calculando a razão:
ak+1ak = (3/2)^k+14(k+1)^3 cdot 4k^3(3/2)^k = 3/2 cdot k^3(k+1)^3
Simplificando:
ak+1ak = 32 ( kk+1 )^3

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty 32 ( kk+1 )^3 = 32 cdot 1 = 32

Passo 6

Como L = 32 > 1, segundo o Teste da Razão, isso implica que a série diverge.

Resposta

A série sum 3^kk^3 2^k+2 diverge pelo Teste da Razão.

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