Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, onde analisamos se a soma de termos infinitos tem um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Podemos reescrever o termo geral da série assim:
Isso facilita a análise porque agora vemos que a série possui um termo que cresce exponencialmente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é bastante útil para séries com termos envolvendo potências. O teste diz que se o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, a série converge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular o limite:
Onde:

Passo 4

Calculando a razão:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Como , segundo o Teste da Razão, isso implica que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

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