Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado da questão é: Determine o limite da sequência
. Estamos lidando com cálculo de limites, especificamente com funções trigonométricas e comportamento assintótico. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta quando o ângulo está muito pequeno e como isso afeta o limite quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
cresce sem limites, ou seja, quando
tende ao infinito. Conforme
aumenta,
fica cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função seno. Sabemos que para ângulos muito pequenos (em radianos), o seno de um ângulo é aproximadamente igual ao próprio ângulo. Isso é conhecido como aproximação do ângulo pequeno, ou seja:
Nesse caso, como
está se aproximando de zero, podemos usar essa aproximação.
Passo 4
Aplicando a aproximação na nossa expressão:
Então, substituindo na sequência original:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Aqui, o
no numerador e no denominador se cancelam, restando apenas 2.
Resposta
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