Determine os limites das seguintes seqüências:
lim n infty n sen(2n)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado da questão é: Determine o limite da sequência lim n infty n sen(2n). Estamos lidando com cálculo de limites, especificamente com funções trigonométricas e comportamento assintótico. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta quando o ângulo está muito pequeno e como isso afeta o limite quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando cresce sem limites, ou seja, quando tende ao infinito. Conforme aumenta, fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função seno. Sabemos que para ângulos muito pequenos (em radianos), o seno de um ângulo é aproximadamente igual ao próprio ângulo. Isso é conhecido como aproximação do ângulo pequeno, ou seja:
sin(x) approx x quando x to 0
Nesse caso, como está se aproximando de zero, podemos usar essa aproximação.

Passo 4

Aplicando a aproximação na nossa expressão:
sin(2n) approx 2n
Então, substituindo na sequência original:
n cdot sin(2n) approx n cdot 2n

Passo 5

Simplificando a expressão:
n cdot 2n = 2
Aqui, o no numerador e no denominador se cancelam, restando apenas 2.

Resposta

2

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