Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a série . Essa é uma série infinita onde cada termo geral é dado pela fração . Nosso objetivo é descobrir se a soma desses termos tende a um valor finito (convergência) ou se cresce sem limites (divergência).
Passo 3
Vamos utilizar o Teste da Razão, que é muito útil para analisar séries com termos que envolvem fatoriais. Esse teste funciona calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se o limite for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, converge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos chamar o termo geral da série de . Aplicando o Teste da Razão, calculamos: