Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a série . Essa é uma série infinita onde cada termo geral é dado pela fração . Nosso objetivo é descobrir se a soma desses termos tende a um valor finito (convergência) ou se cresce sem limites (divergência).

Passo 3

Vamos utilizar o Teste da Razão, que é muito útil para analisar séries com termos que envolvem fatoriais. Esse teste funciona calculando o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se o limite for maior que 1, a série diverge; se for menor que 1, converge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos chamar o termo geral da série de . Aplicando o Teste da Razão, calculamos:
Substituindo e :

Passo 5

Simplificando a expressão:
Substituindo de volta:
Os termos e se cancelam:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão resultante:
Onde os termos de menor grau são desprezados quando tende ao infinito.

Passo 7

Como o limite é maior que 1, pelo Teste da Razão, podemos concluir que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é maior que 1.

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