Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita
e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência apropriado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é
. Para entender o comportamento da série, é útil ver como os termos se comportam quando k fica grande.
Passo 3
Observando
, percebemos que para valores grandes de k, ele é aproximadamente igual a k. Ou seja,
quando k é grande. Assim, o termo geral se aproxima de
.
Passo 4
Sabemos que a série
, conhecida como série harmônica, diverge. Vamos usar o Teste da Comparação para comparar as duas séries. Como
para todo k, e a série
diverge, concluímos que a série dada também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Comparação.