Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 1raiz1+k^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita sum 1raiz1+k^2 e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência apropriado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série, que é 1raiz1+k^2. Para entender o comportamento da série, é útil ver como os termos se comportam quando k fica grande.

Passo 3

Observando raiz1+k^2, percebemos que para valores grandes de k, ele é aproximadamente igual a k. Ou seja, raiz1+k^2 approx k quando k é grande. Assim, o termo geral se aproxima de 1k.

Passo 4

Sabemos que a série sum 1k, conhecida como série harmônica, diverge. Vamos usar o Teste da Comparação para comparar as duas séries. Como 1raiz1+k^2 >= 1k para todo k, e a série sum 1k diverge, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série sum 1raiz1+k^2 diverge pelo Teste da Comparação.

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