Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste Integral e o Teste de Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série. Olhando para
, percebemos que para valores grandes de
, ele se comporta como
. Então, vamos analisar a série
para comparar.
Passo 3
Sabemos que a série
é a série harmônica, que diverge. Agora, observamos que
cresce mais lentamente que
para qualquer
, mas ainda assim, a presença do logaritmo pode afetar a convergência.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste Integral para a série
. Consideramos a integral correspondente:
Fazendo a substituição
,
, a integral se torna:
Avaliando o limite quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge, e, portanto, pela propriedade do Teste Integral, a série
também diverge.
Passo 5
Como nossa série original
se comporta de maneira semelhante à série divergente
para valores grandes de
, podemos concluir que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste Integral.
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