Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste Integral e o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série. Olhando para , percebemos que para valores grandes de , ele se comporta como . Então, vamos analisar a série para comparar.

Passo 3

Sabemos que a série é a série harmônica, que diverge. Agora, observamos que cresce mais lentamente que para qualquer , mas ainda assim, a presença do logaritmo pode afetar a convergência.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste Integral para a série . Consideramos a integral correspondente:
Fazendo a substituição , , a integral se torna:
Avaliando o limite quando tende ao infinito:
Isso significa que a integral diverge, e, portanto, pela propriedade do Teste Integral, a série também diverge.

Passo 5

Como nossa série original se comporta de maneira semelhante à série divergente para valores grandes de , podemos concluir que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste Integral.

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