Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum ln (k+1)k+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série sum ln (k+1)k+2 converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, como o Teste Integral e o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento geral dos termos da série. Olhando para ln (k+1)k+2, percebemos que para valores grandes de k, ele se comporta como ln kk. Então, vamos analisar a série sum ln kk para comparar.

Passo 3

Sabemos que a série sum 1k é a série harmônica, que diverge. Agora, observamos que ln kk cresce mais lentamente que k^ak para qualquer a > 0, mas ainda assim, a presença do logaritmo pode afetar a convergência.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste Integral para a série sum ln kk. Consideramos a integral correspondente:
integral2^infty ln xx , dx
Fazendo a substituição u = ln x, du = 1x dx, a integral se torna:
integral ! u , du = u^22 + C = (ln x)^22 + C
Avaliando o limite quando x tende ao infinito:
limx to infty (ln x)^22 = infty
Isso significa que a integral diverge, e, portanto, pela propriedade do Teste Integral, a série sum ln kk também diverge.

Passo 5

Como nossa série original sum ln (k+1)k+2 se comporta de maneira semelhante à série divergente sum ln kk para valores grandes de k, podemos concluir que a série original também diverge.

Resposta

A série sum ln (k+1)k+2 diverge pelo Teste Integral.

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