Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
sum k^2-4k^3+k+5

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que usar o teste do limite para descobrir se a série sum k^2-4k^3+k+5 converge ou diverge. Primeiro, vamos entender o que é esse teste e como aplicá-lo nessa série.

Passo 2

O teste do limite nos ajuda a determinar o comportamento de uma série olhando para o limite dos termos gerais conforme cresce infinitamente. A regra básica é:
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo, e precisamos usar outro método.
Aqui, .

Passo 3

Vamos calcular o limite de limk to infty k^2-4k^3+k+5 quando tende ao infinito:

Passo 4

Para facilitar o cálculo, vamos dividir o numerador e o denominador pelo maior grau de limk to infty k^2k^3 - 4k^3k^3k^3 + kk^3 + 5k^3 = limk to infty 1k - 4k^31 + 1k^2 + 5k^3 no denominador, que é :

Passo 5

Agora, observe o que acontece com cada termo conforme 0 - 01 + 0 + 0 = 0 cresce:
  • tende a 0
  • tende a 0
  • tende a 0
  • tende a 0
Então, o limite simplifica para:

Passo 6

Segundo o teste do limite, como , o teste não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Mas a gente pode ir além!
Para isso, vamos comparar a nossa série com uma série p conhecida. Observe que para grandes valores de , se comporta como .
A série p é conhecida como série harmônica e diverge.

Passo 7

Como os termos da nossa série são comparáveis aos termos da série harmônica que diverge, podemos concluir, usando o teste de comparação, que a série original também diverge.

Resposta

A série sum k^2-4k^3+k+5 diverge.

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