Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que usar o teste do limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Primeiro, vamos entender o que é esse teste e como aplicá-lo nessa série.
Passo 2
O teste do limite nos ajuda a determinar o comportamento de uma série olhando para o limite dos termos gerais conforme
cresce infinitamente. A regra básica é:
- Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo, e precisamos usar outro método.
Aqui,
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Passo 4
Para facilitar o cálculo, vamos dividir o numerador e o denominador pelo maior grau de
no denominador, que é
:
Passo 5
Agora, observe o que acontece com cada termo conforme
cresce:
-
tende a 0 -
tende a 0 -
tende a 0 -
tende a 0
Então, o limite simplifica para:
Passo 6
Segundo o teste do limite, como
, o teste não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Mas a gente pode ir além!
Para isso, vamos comparar a nossa série com uma série p conhecida. Observe que para grandes valores de
,
se comporta como
.
A série p
é conhecida como série harmônica e diverge.
Passo 7
Como os termos da nossa série são comparáveis aos termos da série harmônica que diverge, podemos concluir, usando o teste de comparação, que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: