Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries numéricas e testes de convergência. Precisaremos aplicar o Teste de Condensação de Cauchy para verificar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, observamos o termo geral da série:
. Queremos analisar se a soma desses termos converge ou não quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para determinar a convergência da série, vamos aplicar o Teste de Condensação de Cauchy. Esse teste é útil para séries com termos positivos e decrescentes, e nos ajuda a comparar a série original com outra mais simples.
Passo 4
Aplicando o Teste de Condensação de Cauchy, consideramos a série condensada:
Simplificando os termos:
Passo 5
Analisando a série condensada
, percebemos que o termo geral cresce exponencialmente devido ao
, enquanto o denominador cresce apenas linearmente com
. Portanto, os termos não tendem a zero, o que implica que a série condensada diverge.
Passo 6
Como a série condensada diverge, pelo Teste de Condensação de Cauchy, concluímos que a série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste de Condensação de Cauchy.
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