Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k+12 ln k

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sum k+12 ln k converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries numéricas e testes de convergência. Precisaremos aplicar o Teste de Condensação de Cauchy para verificar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, observamos o termo geral da série: ak = k+12 ln k. Queremos analisar se a soma desses termos converge ou não quando k tende ao infinito.

Passo 3

Para determinar a convergência da série, vamos aplicar o Teste de Condensação de Cauchy. Esse teste é útil para séries com termos positivos e decrescentes, e nos ajuda a comparar a série original com outra mais simples.

Passo 4

Aplicando o Teste de Condensação de Cauchy, consideramos a série condensada:
sum 2^n a2^n = sum 2^n cdot 2^n + 12 ln 2^n
Simplificando os termos:
2^n cdot 2^n + 12 ln 2^n approx 2^2n2 n ln 2 = 2^2n2 n ln 2 = 4^n2 n ln 2

Passo 5

Analisando a série condensada sum 4^n2 n ln 2, percebemos que o termo geral cresce exponencialmente devido ao 4^n, enquanto o denominador cresce apenas linearmente com n. Portanto, os termos não tendem a zero, o que implica que a série condensada diverge.

Passo 6

Como a série condensada diverge, pelo Teste de Condensação de Cauchy, concluímos que a série original sum k+12 ln k também diverge.

Resposta

A série sum k+12 ln k diverge pelo Teste de Condensação de Cauchy.

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