Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
sum 11+k^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para usarmos o teste da integral para verificar se a série converge ou não. Então, vamos precisar entender como funciona o teste da integral e aplicá-lo nessa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral da função correspondente for finita (converge), então a série também converge. Se a integral for infinita (diverge), a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos identificar a função que corresponde à nossa série. Na série , a função é . Essa é uma função positiva, contínua e decrescente para , que são requisitos para aplicar o teste da integral.

Passo 4

Vamos então calcular a integral de integral1^+infty 11+x^2 , dx de integral 11+x^2 , dx = arctan(x) + C até :
A antiderivada de é , então:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite da antiderivada quando limb to +infty arctan(b) - arctan(1) tende a pi2 - pi4 = pi4 :
Sabemos que tende a quando vai para , e . Então:
Como o resultado é finito, a integral converge.

Resposta

Portanto, pela aplicação do teste da integral, a série converge.

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