Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para usarmos o teste da integral para verificar se a série
converge ou não. Então, vamos precisar entender como funciona o teste da integral e aplicá-lo nessa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a integral da função correspondente for finita (converge), então a série também converge. Se a integral for infinita (diverge), a série diverge.
Passo 3
Agora, vamos identificar a função que corresponde à nossa série. Na série
, a função é
. Essa é uma função positiva, contínua e decrescente para
, que são requisitos para aplicar o teste da integral.
Passo 4
Vamos então calcular a integral de
de
até
:
A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o limite da antiderivada quando
tende a
:
Sabemos que
tende a
quando
vai para
, e
. Então:
Como o resultado é finito, a integral converge.
Resposta
Portanto, pela aplicação do teste da integral, a série
converge.
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