Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas da matemática, especialmente o Teste da Série p. Esse teste nos ajuda a decidir a convergência ou divergência de séries do tipo
, onde
é um número real.
Passo 2
Vamos analisar o termo geral da série:
. Nosso objetivo é simplificar esse termo para compará-lo com uma série p conhecida. Observe que, para valores grandes de
, o termo
é muito menor em comparação com
. Portanto, podemos aproximar
.
Assim, temos:
Portanto, o termo geral da nossa série fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com uma série p, que é da forma
. Sabemos que a série p converge se
e diverge se
.
No nosso caso, o expoente
é
, que é menor que 1. Isso significa que a série p correspondente,
, diverge.
Passo 4
Como nosso termo geral
é aproximadamente igual a
para valores grandes de
, e sabemos que a série
diverge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Comparação com uma série p onde
.
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