Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 1raiz[3]k^2+2 k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas da matemática, especialmente o Teste da Série p. Esse teste nos ajuda a decidir a convergência ou divergência de séries do tipo , onde é um número real.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da série: raiz[3]k^2 + 2k approx raiz[3]k^2 = k^2/3 . Nosso objetivo é simplificar esse termo para compará-lo com uma série p conhecida. Observe que, para valores grandes de 1raiz[3]k^2+2k approx 1k^2/3 , o termo é muito menor em comparação com . Portanto, podemos aproximar .
Assim, temos:
Portanto, o termo geral da nossa série fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com uma série p, que é da forma . Sabemos que a série p converge se e diverge se .
No nosso caso, o expoente é , que é menor que 1. Isso significa que a série p correspondente, , diverge.

Passo 4

Como nosso termo geral é aproximadamente igual a para valores grandes de , e sabemos que a série diverge, podemos concluir, pelo Teste da Comparação, que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação com uma série p onde .

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