Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender como termos com potências e denominadores se comportam quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série à medida que aumenta. Temos . Perceba que cresce muito rápido porque é uma função exponencial, enquanto cresce de forma linear. Geralmente, termos com crescimento exponencial dominam os termos lineares.

Passo 3

Para determinar a convergência ou divergência da série, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos gerais da série quando tende ao infinito não for zero, então a série diverge.

Passo 4

Vamos calcular o limite dos termos gerais:
Como cresce exponencialmente e cresce linearmente, o limite tende ao infinito:

Passo 5

Como o limite dos termos gerais não é zero (na verdade, é infinito), de acordo com o Teste da Divergência, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Divergência, já que o limite dos termos gerais é infinito.

Exercícios relacionados

Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: