Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 3^kk+7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série sum 3^kk+7 converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender como termos com potências e denominadores se comportam quando k cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série à medida que k aumenta. Temos 3^kk+7. Perceba que 3^k cresce muito rápido porque é uma função exponencial, enquanto k+7 cresce de forma linear. Geralmente, termos com crescimento exponencial dominam os termos lineares.

Passo 3

Para determinar a convergência ou divergência da série, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos gerais da série quando k tende ao infinito não for zero, então a série diverge.

Passo 4

Vamos calcular o limite dos termos gerais:
limk to infty 3^kk+7
Como 3^k cresce exponencialmente e k+7 cresce linearmente, o limite tende ao infinito:
limk to infty 3^kk+7 = infty

Passo 5

Como o limite dos termos gerais não é zero (na verdade, é infinito), de acordo com o Teste da Divergência, a série sum 3^kk+7 diverge.

Resposta

A série sum 3^kk+7 diverge pelo Teste da Divergência, já que o limite dos termos gerais é infinito.

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