Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender como termos com potências e denominadores se comportam quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série à medida que
aumenta. Temos
. Perceba que
cresce muito rápido porque é uma função exponencial, enquanto
cresce de forma linear. Geralmente, termos com crescimento exponencial dominam os termos lineares.
Passo 3
Para determinar a convergência ou divergência da série, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos gerais da série quando
tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
Passo 4
Vamos calcular o limite dos termos gerais:
Como
cresce exponencialmente e
cresce linearmente, o limite tende ao infinito:
Passo 5
Como o limite dos termos gerais não é zero (na verdade, é infinito), de acordo com o Teste da Divergência, a série
diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Divergência, já que o limite dos termos gerais é infinito.
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