Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o teste da comparação.

Passo 2

Vamos analisar os termos da série: . Sabemos que a função (ou arctan(k)) é sempre menor que para todo valor de k natural, pois o arco-tangente de k tende a quando k vai para o infinito.

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série conhecida . Essa série é uma série p com p = 2, e sabemos que séries p convergem quando p > 1.

Passo 4

Observamos que para todo k. Como converge (já que é uma constante multiplicada por uma série p com p = 2), pelo teste da comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação.

Exercícios relacionados

Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: