Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série
e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o teste da comparação.
Passo 2
Vamos analisar os termos da série:
. Sabemos que a função
(ou arctan(k)) é sempre menor que
para todo valor de k natural, pois o arco-tangente de k tende a
quando k vai para o infinito.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série conhecida
. Essa série é uma série p com p = 2, e sabemos que séries p convergem quando p > 1.
Passo 4
Observamos que
para todo k. Como
converge (já que é uma constante multiplicada por uma série p com p = 2), pelo teste da comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
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