Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum arctg k1+k^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série sum arctg k1+k^2 e precisamos determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, como o teste da comparação.

Passo 2

Vamos analisar os termos da série: arctg k1+k^2. Sabemos que a função arctg k (ou arctan(k)) é sempre menor que pi2 para todo valor de k natural, pois o arco-tangente de k tende a pi2 quando k vai para o infinito.

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série conhecida sum 11+k^2. Essa série é uma série p com p = 2, e sabemos que séries p convergem quando p > 1.

Passo 4

Observamos que arctg k1+k^2 <= pi21+k^2 para todo k. Como sum pi21+k^2 converge (já que é uma constante multiplicada por uma série p com p = 2), pelo teste da comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série sum arctg k1+k^2 converge pelo teste da comparação.

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