Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 1raizk+1

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que determinar se a série sum 1raizk+1 converge ou diverge. O conteúdo envolvido aqui é a análise de séries, especificamente utilizando testes de convergência. Para resolver, vamos precisar aplicar um teste que nos ajude a decidir se a soma infinita desses termos resulta em um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, observamos que a série apresentada tem a forma sum 1raizk+1. Podemos reescrever o denominador como raizk+1 = (k+1)^1/2, então a série fica sum 1(k+1)^1/2.

Passo 3

Reconhecemos que essa é uma série do tipo p, onde cada termo é da forma 1k^p. Sabemos que, para séries do tipo p, existem critérios para determinar a convergência:
  • Se p > 1, a série converge.
  • Se p <= 1, a série diverge.

Passo 4

Comparando com nossa série, temos p = 12, pois o denominador é elevado à potência de 1/2.

Passo 5

Como 12 <= 1, de acordo com o teste p, a série sum 1raizk+1 diverge, ou seja, não soma a um valor finito.

Resposta

A série sum 1raizk+1 diverge pelo teste p, já que p = 12 <= 1.

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