Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral para determinar se a série
converge ou não. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste e verificar as condições necessárias para usá-lo.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se a função
é positiva, contínua e decrescente para
. Isso é importante porque o teste da integral só funciona nessas condições.
Passo 3
Vamos verificar cada condição:
- Positiva:
é sempre positiva para qualquer valor de . - Contínua: A função é contínua para
, já que não há divisão por zero ou outros pontos problemáticos. - Decrescente: À medida que
aumenta, o denominador aumenta, fazendo com que a função diminua.
Como todas as condições estão atendidas, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral da função contínua correspondente:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Calculando os limites:
Como a integral resulta em um valor finito, ela converge.
Passo 5
De acordo com o teste da integral, se a integral da função associada converge, então a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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