Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
sum 1(3 k+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral para determinar se a série converge ou não. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste e verificar as condições necessárias para usá-lo.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se a função é positiva, contínua e decrescente para . Isso é importante porque o teste da integral só funciona nessas condições.

Passo 3

Vamos verificar cada condição:
  • Positiva: é sempre positiva para qualquer valor de .
  • Contínua: A função é contínua para , já que não há divisão por zero ou outros pontos problemáticos.
  • Decrescente: À medida que aumenta, o denominador aumenta, fazendo com que a função diminua.
Como todas as condições estão atendidas, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral da função contínua correspondente:
integral1^infty 1(3k+1)^2 , dk
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
u = 3k + 1 Rightarrow du = 3 , dk Rightarrow dk = du3
Substituindo na integral:
integralu=4^infty 1u^2 cdot du3 = 13 integral4^infty u^-2 , du = 13 [ -u^-1 ]4^infty
Calculando os limites:
13 ( 0 - ( -14 ) ) = 13 cdot 14 = 112
Como a integral resulta em um valor finito, ela converge.

Passo 5

De acordo com o teste da integral, se a integral da função associada converge, então a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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