Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o teste da comparação para determinar se a série
converge ou não. Para isso, vamos comparar essa série com outra série conhecida que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série:
Agora, nossa série é:
Passo 3
Para aplicar o teste da comparação, precisamos encontrar uma série comparativa que seja mais fácil de analisar. Observamos que para
:
Portanto:
Passo 4
Vamos analisar a série comparativa
. Sabemos que a função exponencial
cresce muito rapidamente, então esperamos que essa série convirja. Mas vamos confirmar isso.
Passo 5
Considerando a série
, podemos reescrevê-la como:
Isso se parece com uma série geométrica com termo geral
, onde
.
Passo 6
Sabemos que uma série da forma
converge se
. No nosso caso,
, então a série
converge.
Passo 7
Como
e a série
converge, pelo teste da comparação, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.
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