Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
sum(k-1) e^-k

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos usar o teste da comparação para determinar se a série converge ou não. Para isso, vamos comparar essa série com outra série conhecida que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série:
(k - 1) e^-k = k - 1e^k
Agora, nossa série é:
sumk=1^infty k - 1e^k

Passo 3

Para aplicar o teste da comparação, precisamos encontrar uma série comparativa que seja mais fácil de analisar. Observamos que para k - 1 <= k :
k - 1e^k <= ke^k
Portanto:

Passo 4

Vamos analisar a série comparativa . Sabemos que a função exponencial cresce muito rapidamente, então esperamos que essa série convirja. Mas vamos confirmar isso.

Passo 5

Considerando a série sumk=1^infty k (1e)^k , podemos reescrevê-la como:
Isso se parece com uma série geométrica com termo geral , onde .

Passo 6

Sabemos que uma série da forma converge se . No nosso caso, , então a série converge.

Passo 7

Como e a série converge, pelo teste da comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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