Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Então, a gente tem a série infinita e queremos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar técnicas de análise de séries, especificamente o Teste da Comparação Limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor como ela se comporta conforme cresce:
À medida que fica muito grande, os termos de maior grau no numerador e denominador dominam. Então, a expressão se aproxima de:

Passo 3

Sabemos que a série é a série harmônica, que diverge. Agora, vamos comparar a nossa série original com essa série harmônica usando o Teste da Comparação Limitada.
Calculamos o limite da razão entre os termos das duas séries:
Dividindo cada termo pelo maior grau de (que é ):

Passo 4

Como o limite é um número positivo e finito (neste caso, 1), e a série diverge, podemos concluir pelo Teste da Comparação Limitada que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação Limitada.

Exercícios relacionados

Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: