Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k(k+1)(k+2)(k^2+1)

Passo 1

Então, a gente tem a série infinita e queremos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar técnicas de análise de séries, especificamente o Teste da Comparação Limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor como ela se comporta conforme k(k+1)(k+2)(k^2+1) = k^2 + kk^3 + 2k^2 + k + 2 cresce:
k^2k^3 = 1k
À medida que fica muito grande, os termos de maior grau no numerador e denominador dominam. Então, a expressão se aproxima de:

Passo 3

Sabemos que a série limk to infty k(k+1)(k+2)(k^2+1)1k = limk to infty k^2(k+1)(k+2)(k^2+1) = limk to infty k^3 + k^2k^3 + 2k^2 + k + 2 é a série harmônica, que diverge. Agora, vamos comparar a nossa série original com essa série harmônica usando o Teste da Comparação Limitada.
Calculamos o limite da razão entre os termos das duas séries:
limk to infty 1 + 1k1 + 2k + 1k^2 + 2k^3 = 1 + 01 + 0 + 0 + 0 = 1
Dividindo cada termo pelo maior grau de (que é ):

Passo 4

Como o limite é um número positivo e finito (neste caso, 1), e a série diverge, podemos concluir pelo Teste da Comparação Limitada que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação Limitada.

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