Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Então, a gente tem a série infinita
e queremos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar técnicas de análise de séries, especificamente o Teste da Comparação Limitada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor como ela se comporta conforme
cresce:
À medida que
fica muito grande, os termos de maior grau no numerador e denominador dominam. Então, a expressão se aproxima de:
Passo 3
Sabemos que a série
é a série harmônica, que diverge. Agora, vamos comparar a nossa série original com essa série harmônica usando o Teste da Comparação Limitada.
Calculamos o limite da razão entre os termos das duas séries:
Dividindo cada termo pelo maior grau de
(que é
):
Passo 4
Como o limite é um número positivo e finito (neste caso, 1), e a série
diverge, podemos concluir pelo Teste da Comparação Limitada que a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Comparação Limitada.
Exercícios relacionados
Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: