Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que já sabemos se converge ou não. Vamos precisar entender como simplificar a expressão da série para facilitar a comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da série: . Quando k fica bem grande, os termos com maior potência dominam. Então, no numerador, é aproximadamente , e no denominador, é aproximadamente .
Então, nossa expressão fica aproximadamente:

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série p conhecida:
Sabemos que essa série converge se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1, então a série diverge.

Passo 4

Como a nossa série original é comparável a e comporta-se de forma semelhante quando k cresce, podemos concluir que ela também diverge pelo Teste de Comparação.

Resposta

A série diverge pelo Teste de Comparação.

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