Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que já sabemos se converge ou não. Vamos precisar entender como simplificar a expressão da série para facilitar a comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão da série:
. Quando k fica bem grande, os termos com maior potência dominam. Então, no numerador,
é aproximadamente
, e no denominador,
é aproximadamente
.
Então, nossa expressão fica aproximadamente:
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa série com a série p conhecida:
Sabemos que essa série converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1, então a série
diverge.
Passo 4
Como a nossa série original
é comparável a
e comporta-se de forma semelhante quando k cresce, podemos concluir que ela também diverge pelo Teste de Comparação.
Resposta
A série
diverge pelo Teste de Comparação.
Exercícios relacionados
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: