Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 2 k+2raizk^3+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série sum 2k + 2raizk^3 + 2 converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que já sabemos se converge ou não. Vamos precisar entender como simplificar a expressão da série para facilitar a comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da série: 2k + 2raizk^3 + 2. Quando k fica bem grande, os termos com maior potência dominam. Então, no numerador, 2k + 2 é aproximadamente 2k, e no denominador, raizk^3 + 2 é aproximadamente raizk^3 = k^1.5.
Então, nossa expressão fica aproximadamente:
2kk^1.5 = 2k^0.5 = 2raizk

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série p conhecida:
sum 1k^p
Sabemos que essa série converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, p = 0.5, que é menor que 1, então a série sum 1raizk diverge.

Passo 4

Como a nossa série original sum 2k + 2raizk^3 + 2 é comparável a sum 1raizk e comporta-se de forma semelhante quando k cresce, podemos concluir que ela também diverge pelo Teste de Comparação.

Resposta

A série sum 2k + 2raizk^3 + 2 diverge pelo Teste de Comparação.

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