Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
sum 11+k^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série e precisamos usar o teste da comparação para descobrir se essa série converge ou não. O teste da comparação é uma ferramenta que nos ajuda a comparar uma série desconhecida com outra que já sabemos se converge ou diverge, para tirar conclusões sobre a primeira.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observamos que 1 + k^2 >= k^2 no denominador é sempre maior ou igual a , porque estamos somando 1 a . Então podemos afirmar que:
Isso nos permite comparar a série dada com a série .

Passo 3

Agora, sabemos que é uma série p com . Séries p convergem quando . Portanto, a série converge.

Passo 4

Pelo teste da comparação, se uma série 11 + k^2 <= 1k^2 é menor ou igual a uma série convergente para todo a partir de algum ponto, então também converge. No nosso caso:
E já que converge, concluímos que também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação.

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