Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série
e precisamos usar o teste da comparação para descobrir se essa série converge ou não. O teste da comparação é uma ferramenta que nos ajuda a comparar uma série desconhecida com outra que já sabemos se converge ou diverge, para tirar conclusões sobre a primeira.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observamos que
no denominador é sempre maior ou igual a
, porque estamos somando 1 a
. Então podemos afirmar que:
Isso nos permite comparar a série dada com a série
.
Passo 3
Agora, sabemos que
é uma série p com
. Séries p convergem quando
. Portanto, a série
converge.
Passo 4
Pelo teste da comparação, se uma série
é menor ou igual a uma série convergente
para todo
a partir de algum ponto, então
também converge. No nosso caso:
E já que
converge, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
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