Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste do limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular alguns limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste do limite. Basicamente, a gente calcula o limite do termo geral da série quando
vai para o infinito:
Se esse limite não for zero, a série diverge. Se for zero, o teste não dá uma resposta definitiva, e a gente precisa tentar outro método.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Vamos calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é a maior potência de
no denominador:
Passo 5
Agora, avaliamos cada parte do limite:
-
tende a quando vai para o infinito. -
também tende a . -
tende a .
Então, o limite fica:
Passo 6
Como o limite do termo geral é
, o teste do limite não nos dá informação suficiente para concluir se a série converge ou diverge. Então, precisamos usar outro teste. Vamos usar o teste da comparação.
Passo 7
Vamos comparar nossa série com uma série conhecida. Observando os termos principais:
Então, nossa série se comporta parecido com a série:
Essa é a série harmônica, que sabemos que diverge.
Passo 8
Como a série
é comparável à série harmônica que diverge, podemos concluir que também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: