Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste do limite para descobrir se a série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular alguns limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste do limite. Basicamente, a gente calcula o limite do termo geral da série quando vai para o infinito:
Se esse limite não for zero, a série diverge. Se for zero, o teste não dá uma resposta definitiva, e a gente precisa tentar outro método.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Vamos calcular o limite desse termo quando tende ao infinito:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos dividir o numerador e o denominador por , que é a maior potência de no denominador:

Passo 5

Agora, avaliamos cada parte do limite:
  • tende a quando vai para o infinito.
  • também tende a .
  • tende a .
    Então, o limite fica:

Passo 6

Como o limite do termo geral é , o teste do limite não nos dá informação suficiente para concluir se a série converge ou diverge. Então, precisamos usar outro teste. Vamos usar o teste da comparação.

Passo 7

Vamos comparar nossa série com uma série conhecida. Observando os termos principais:
Então, nossa série se comporta parecido com a série:
Essa é a série harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 8

Como a série é comparável à série harmônica que diverge, podemos concluir que também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: