Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
sum k+32 k^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste do limite para descobrir se a série sum k+32 k^2+1 converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular alguns limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste do limite. Basicamente, a gente calcula o limite do termo geral da série quando k vai para o infinito:
limk to infty ak
Se esse limite não for zero, a série diverge. Se for zero, o teste não dá uma resposta definitiva, e a gente precisa tentar outro método.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
ak = k+32 k^2+1
Vamos calcular o limite desse termo quando k tende ao infinito:
limk to infty k+32 k^2+1

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos dividir o numerador e o denominador por k^2, que é a maior potência de k no denominador:
limk to infty kk^2 + 3k^22k^2k^2 + 1k^2 = limk to infty 1k + 3k^22 + 1k^2

Passo 5

Agora, avaliamos cada parte do limite:
  • 1k tende a 0 quando k vai para o infinito.
  • 3k^2 também tende a 0.
  • 1k^2 tende a 0.
    Então, o limite fica:
0 + 02 + 0 = 02 = 0

Passo 6

Como o limite do termo geral é 0, o teste do limite não nos dá informação suficiente para concluir se a série converge ou diverge. Então, precisamos usar outro teste. Vamos usar o teste da comparação.

Passo 7

Vamos comparar nossa série com uma série conhecida. Observando os termos principais:
k2k^2 = 12k
Então, nossa série se comporta parecido com a série:
sum 1k
Essa é a série harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 8

Como a série sum k+32 k^2+1 é comparável à série harmônica que diverge, podemos concluir que também diverge.

Resposta

A série sum k+32 k^2+1 diverge.

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