Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum 2 k^2+2 k-1k^4-6 k+10

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir se a série sum 2 k^2+2 k-1k^4-6 k+10 converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste que nos ajude a chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como os termos da série se comportam quando k fica bem grande, ou seja, tendendo ao infinito. Olhando para a expressão 2 k^2+2 k-1k^4-6 k+10, percebemos que, para valores grandes de k, os termos de maior grau no numerador e no denominador são os que mais influenciam o resultado. Então, podemos simplificar a expressão assim:
2 k^2+2 k-1k^4-6 k+10 approx 2k^2k^4 = 2k^2
Isso nos lembra da série p, que tem a forma sum 1k^p. Sabemos que uma série p converge se p > 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série que estamos estudando com outra série que já conhecemos o comportamento.
Sabemos que para todo k grande, a seguinte desigualdade é válida:
2 k^2+2 k-1k^4-6 k+10 <= 2k^2+2k^2+k^2k^4 = 5k^2k^4 = 5k^2
A série comparada aqui é sum 5k^2, que é uma série p com p = 2. Como p > 1, essa série converge. Pelo Teste de Comparação, se a série maior converge, então a série menor também converge.

Resposta

A série sum 2 k^2+2 k-1k^4-6 k+10 converge, utilizando o Teste de Comparação com a série p.

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