Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste que nos ajude a chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar como os termos da série se comportam quando
fica bem grande, ou seja, tendendo ao infinito. Olhando para a expressão
, percebemos que, para valores grandes de
, os termos de maior grau no numerador e no denominador são os que mais influenciam o resultado. Então, podemos simplificar a expressão assim:
Isso nos lembra da série p, que tem a forma
. Sabemos que uma série p converge se
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série que estamos estudando com outra série que já conhecemos o comportamento.
Sabemos que para todo
grande, a seguinte desigualdade é válida:
A série comparada aqui é
, que é uma série p com
. Como
, essa série converge. Pelo Teste de Comparação, se a série maior converge, então a série menor também converge.
Resposta
A série
converge, utilizando o Teste de Comparação com a série p.
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