Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência apropriado. Precisamos entender qual teste aplicar e como utilizar a teoria por trás dele para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma infinita dos termos se aproxima de um número finito. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Vamos analisar nossa série: . Notamos que os termos são positivos e tendem a zero quando cresce, já que cresce mais devagar que . Porém, isso por si só não garante a convergência da série.

Passo 4

Para determinar a convergência, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste é útil quando temos termos positivos e decrescentes. A ideia é comparar a série com uma integral imprópria.

Passo 5

Aplicamos o Teste da Integral substituindo a soma por uma integral:

Passo 6

Vamos calcular essa integral. Fazendo a substituição , então . A integral se transforma em:

Passo 7

Avaliando a integral de 2 até o infinito:
Como tende ao infinito quando tende ao infinito, a integral também tende ao infinito.

Passo 8

Como a integral diverge (tende ao infinito), pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Integral.

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