Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência apropriado. Precisamos entender qual teste aplicar e como utilizar a teoria por trás dele para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série
converge se a soma infinita dos termos
se aproxima de um número finito. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Vamos analisar nossa série:
. Notamos que os termos
são positivos e tendem a zero quando
cresce, já que
cresce mais devagar que
. Porém, isso por si só não garante a convergência da série.
Passo 4
Para determinar a convergência, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste é útil quando temos termos positivos e decrescentes. A ideia é comparar a série com uma integral imprópria.
Passo 5
Aplicamos o Teste da Integral substituindo a soma por uma integral:
Passo 6
Vamos calcular essa integral. Fazendo a substituição
, então
. A integral se transforma em:
Passo 7
Avaliando a integral de 2 até o infinito:
Como
tende ao infinito quando
tende ao infinito, a integral também tende ao infinito.
Passo 8
Como a integral diverge (tende ao infinito), pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Integral.
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