Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k+1k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série sum k+1k converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries numéricas, mais especificamente sobre a convergência ou divergência de uma série. Para resolver, vamos precisar entender o Teste da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A expressão geral da série é:
k+1k
Podemos dividir o numerador por k:
kk + 1k = 1 + 1k
Então, a série original fica:
sumk=1^infty (1 + 1k)

Passo 3

Agora, vamos separar a série em duas partes:
sumk=1^infty 1 + sumk=1^infty 1k
A primeira série, sumk=1^infty 1, é uma série harmônica, que sabemos que diverge porque a soma dos termos iguais a 1 cresce sem limite.
A segunda série, sumk=1^infty 1k, também é a série harmônica clássica, que igualmente diverge.

Passo 4

Como ambas as partes da série original divergem, podemos concluir que a série completa também diverge.
Para confirmar isso, usamos o Teste da Divergência, que afirma que se o limite do termo geral de uma série não é zero, a série não converge. No nosso caso:
limk to infty (1 + 1k) = 1 neq 0
Como o limite não é zero, a série não converge.

Resposta

A série sum k+1k diverge. Utilizamos o Teste da Divergência para chegar a essa conclusão.

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