Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries numéricas, mais especificamente sobre a convergência ou divergência de uma série. Para resolver, vamos precisar entender o Teste da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A expressão geral da série é:
Podemos dividir o numerador por k:
Então, a série original fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a série em duas partes:
A primeira série, , é uma série harmônica, que sabemos que diverge porque a soma dos termos iguais a 1 cresce sem limite.
A segunda série, , também é a série harmônica clássica, que igualmente diverge.

Passo 4

Como ambas as partes da série original divergem, podemos concluir que a série completa também diverge.
Para confirmar isso, usamos o Teste da Divergência, que afirma que se o limite do termo geral de uma série não é zero, a série não converge. No nosso caso:
Como o limite não é zero, a série não converge.

Resposta

A série diverge. Utilizamos o Teste da Divergência para chegar a essa conclusão.

Exercícios relacionados

Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: