Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k^2-2k^2+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de séries numéricas, especificamente os testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é . Quando a gente quer saber se uma série converge ou não, um dos primeiros testes que a gente usa é o Teste da Divergência.

Passo 3

O Teste da Divergência diz que se o limite do termo geral da série, quando limk to infty ak neq 0 tende ao infinito, não for zero, a série diverge. Ou seja, se:
então a série não converge.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste aqui. Calculando o limite do termo geral:
limk to infty k^2-2k^2+2
Dividindo numerador e denominador por limk to infty 1 - 2k^21 + 2k^2 = 1 - 01 + 0 = 1 :

Passo 5

Como o limite do termo geral é 1, que não é igual a zero, pelo Teste da Divergência, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Divergência.

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