Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste do limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Isso significa que vamos analisar o comportamento dos termos da série conforme
fica muito grande, usando uma ferramenta da matemática chamada teste do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série:
. Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é a maior potência de
que aparece. Isso ajuda a ver como a expressão se comporta quando
cresce.
Passo 3
Dividindo cada parte por
, temos:
Conforme
tende ao infinito, os termos
e
vão para zero, então a expressão se aproxima de
.
Passo 4
Agora, aplicamos o teste do limite, que diz que se o limite do termo geral da série for diferente de zero, a série diverge. Calculamos:
Como o limite é zero, o teste do limite por si só não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Então, precisamos pensar em outro teste para concluir.
Passo 5
Vamos comparar com uma série conhecida. Observando
, vemos que para grandes valores de
, o termo
domina no denominador, então nossa série se comporta como
.
Sabemos que a série
é uma série p com
, que converge porque
.
Passo 6
Para finalizar, usamos o teste da comparação. Como
para
grande, e a série
converge, então a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: