Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste do limite para descobrir se a série converge ou diverge. Isso significa que vamos analisar o comportamento dos termos da série conforme fica muito grande, usando uma ferramenta da matemática chamada teste do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série: . Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por , que é a maior potência de que aparece. Isso ajuda a ver como a expressão se comporta quando cresce.

Passo 3

Dividindo cada parte por , temos:
Conforme tende ao infinito, os termos e vão para zero, então a expressão se aproxima de .

Passo 4

Agora, aplicamos o teste do limite, que diz que se o limite do termo geral da série for diferente de zero, a série diverge. Calculamos:
Como o limite é zero, o teste do limite por si só não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência ou divergência da série. Então, precisamos pensar em outro teste para concluir.

Passo 5

Vamos comparar com uma série conhecida. Observando , vemos que para grandes valores de , o termo domina no denominador, então nossa série se comporta como .
Sabemos que a série é uma série p com , que converge porque .

Passo 6

Para finalizar, usamos o teste da comparação. Como para grande, e a série converge, então a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
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Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
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