Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Então, a gente tem uma série lá que é
. A parada é descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, a gente vai precisar usar testes de convergência de séries, que são métodos da matemática para analisar esse tipo de coisa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série
. Isso significa que estamos somando muitos termos dessa expressão para valores de
indo do 1 ao infinito. A pergunta é se essa soma vai dar um número finito (converge) ou se ela vai crescer sem limite (diverge).
Passo 3
Um teste que é bem útil para esse tipo de série é o Teste da Comparação. A ideia aqui é comparar nossa série com outra que a gente já conhece se converge ou diverge. Se a série que compararmos for maior e ela divergir, então nossa série também diverge. Se for menor e ela convergir, então nossa série também converge.
Passo 4
Vamos comparar
com
. Observa que
, que para
grande, é aproximadamente
.
Passo 5
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que diverge. Ou seja, ela cresce sem limite.
Passo 6
Como
para
grande, e a série harmônica diverge, podemos concluir pelo Teste da Comparação que nossa série
também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Comparação com a série harmônica
.
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