Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Então, a gente tem uma série lá que é . A parada é descobrir se essa série converge ou diverge. Para resolver isso, a gente vai precisar usar testes de convergência de séries, que são métodos da matemática para analisar esse tipo de coisa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série . Isso significa que estamos somando muitos termos dessa expressão para valores de indo do 1 ao infinito. A pergunta é se essa soma vai dar um número finito (converge) ou se ela vai crescer sem limite (diverge).

Passo 3

Um teste que é bem útil para esse tipo de série é o Teste da Comparação. A ideia aqui é comparar nossa série com outra que a gente já conhece se converge ou diverge. Se a série que compararmos for maior e ela divergir, então nossa série também diverge. Se for menor e ela convergir, então nossa série também converge.

Passo 4

Vamos comparar com . Observa que , que para grande, é aproximadamente .

Passo 5

Sabemos que a série é a famosa série harmônica, que diverge. Ou seja, ela cresce sem limite.

Passo 6

Como para grande, e a série harmônica diverge, podemos concluir pelo Teste da Comparação que nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação com a série harmônica .

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