Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Então, vamos analisar a série
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries que estudamos.
Passo 2
Primeiro, observamos o comportamento do termo geral da série quando
fica bem grande, ou seja, tende ao infinito. A gente tem
. Quando
é muito grande, o
no denominador se torna irrelevante, então a expressão fica aproximadamente
.
Passo 3
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que é conhecida por divergir. Então, se a nossa série
se comporta como a série harmônica para valores grandes de
, podemos suspeitar que ela também diverge.
Passo 4
Para confirmar isso de maneira mais precisa, vamos usar o Teste de Comparação por Limite. Esse teste nos permite comparar a nossa série com outra série conhecida para determinar a convergência ou divergência.
Passo 5
Aplicando o Teste de Comparação por Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando, obtemos:
Passo 6
Como o limite é um número positivo e finito (neste caso, 1), o Teste de Comparação por Limite nos diz que a série
tem o mesmo comportamento da série com a qual estamos comparando, ou seja, a série harmônica
, que sabemos que diverge.
Resposta
Portanto, a série
diverge.
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