Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Então, vamos analisar a série . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries que estudamos.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento do termo geral da série quando fica bem grande, ou seja, tende ao infinito. A gente tem . Quando é muito grande, o no denominador se torna irrelevante, então a expressão fica aproximadamente .

Passo 3

Sabemos que a série é a famosa série harmônica, que é conhecida por divergir. Então, se a nossa série se comporta como a série harmônica para valores grandes de , podemos suspeitar que ela também diverge.

Passo 4

Para confirmar isso de maneira mais precisa, vamos usar o Teste de Comparação por Limite. Esse teste nos permite comparar a nossa série com outra série conhecida para determinar a convergência ou divergência.

Passo 5

Aplicando o Teste de Comparação por Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando, obtemos:

Passo 6

Como o limite é um número positivo e finito (neste caso, 1), o Teste de Comparação por Limite nos diz que a série tem o mesmo comportamento da série com a qual estamos comparando, ou seja, a série harmônica , que sabemos que diverge.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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