Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar e descobrir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve Séries Numéricas e vamos precisar usar testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, bora entender qual é a série que estamos lidando. A série é:
Aqui, é o fatorial de , e é uma potência de 2.
Passo 3
Para determinar a convergência ou divergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos termos com fatoriais ou potências.
Passo 4
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não funciona.
Matematicamente, é:
Passo 5
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Agora, calculamos :
Passo 6
Agora, vamos formar a razão :
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando :
Passo 8
Como o limite é infinito, que é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.