Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar e descobrir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve Séries Numéricas e vamos precisar usar testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, bora entender qual é a série que estamos lidando. A série é:
Aqui, é o fatorial de , e é uma potência de 2.

Passo 3

Para determinar a convergência ou divergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil quando temos termos com fatoriais ou potências.

Passo 4

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não funciona.
Matematicamente, é:

Passo 5

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Agora, calculamos :

Passo 6

Agora, vamos formar a razão :

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando :

Passo 8

Como o limite é infinito, que é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

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Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
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