Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Então, a gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria aqui é sobre séries numéricas e vamos precisar usar testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
alterna entre 1 e -1 conforme k aumenta. Na verdade, pode ser escrito como
. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a convergência dessa série. Existe um teste chamado Teste da Série Alternada que é útil aqui. Esse teste diz que se os termos gerais da série alternada diminuem de forma monótona para zero, a série converge.
Passo 4
Vamos verificar se os termos
diminuem para zero conforme k aumenta. Claro que sim, porque quanto maior k, menor é
e tende a zero.
Passo 5
Além disso, a série
é conhecida como uma série p com p = 2. Sabemos que séries p convergem se p > 1. Então, essa série também converge.
Passo 6
Como a série
converge, a série original
converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente, utilizando o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.
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