Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum cos (k pi)k^2

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir se a série sum cos(k pi)k^2 converge ou diverge. A matéria aqui é sobre séries numéricas e vamos precisar usar testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão cos(k pi). Sabemos que cos(k pi) alterna entre 1 e -1 conforme k aumenta. Na verdade, pode ser escrito como (-1)^k. Então, a série fica:
sum (-1)^kk^2

Passo 3

Agora, vamos analisar a convergência dessa série. Existe um teste chamado Teste da Série Alternada que é útil aqui. Esse teste diz que se os termos gerais da série alternada diminuem de forma monótona para zero, a série converge.

Passo 4

Vamos verificar se os termos 1k^2 diminuem para zero conforme k aumenta. Claro que sim, porque quanto maior k, menor é 1k^2 e tende a zero.

Passo 5

Além disso, a série sum 1k^2 é conhecida como uma série p com p = 2. Sabemos que séries p convergem se p > 1. Então, essa série também converge.

Passo 6

Como a série sum 1k^2 converge, a série original sum (-1)^kk^2 converge absolutamente.

Resposta

A série sum cos(k pi)k^2 converge absolutamente, utilizando o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.

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