Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum raizkcos (2 k-6)+k^2

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar se a série sum raizkcos (2k -6) + k^2 converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como o termo geral da série se comporta quando k cresce. Observamos que cos(2k -6) oscila entre -1 e 1, enquanto k^2 cresce muito mais rapidamente. Então, para valores grandes de k, o denominador cos(2k -6) + k^2 é aproximadamente igual a k^2.

Passo 3

Com isso, o termo da série pode ser simplificado para raizkk^2, que é igual a 1k^3/2.

Passo 4

Sabemos que a série p, sum 1k^p, converge se p > 1. No caso, p = 32, que é maior que 1, então a série sum 1k^3/2 converge.

Passo 5

Agora, usamos o Teste da Comparação. Como raizkcos (2k -6) + k^2 <= 1k^3/2 para grandes valores de k, e a série sum 1k^3/2 converge, então a série original também converge.

Resposta

A série sum raizkcos (2k-6)+k^2 converge pelo Teste da Comparação.

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