Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
O enunciado nos pede para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar como o termo geral da série se comporta quando
cresce. Observamos que
oscila entre -1 e 1, enquanto
cresce muito mais rapidamente. Então, para valores grandes de
, o denominador
é aproximadamente igual a
.
Passo 3
Com isso, o termo da série pode ser simplificado para
, que é igual a
.
Passo 4
Sabemos que a série p,
, converge se
. No caso,
, que é maior que 1, então a série
converge.
Passo 5
Agora, usamos o Teste da Comparação. Como
para grandes valores de
, e a série
converge, então a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.