Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como aplicar testes de convergência. Vamos usar principalmente o Teste da Comparação para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série à medida que cresce. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador envolvem funções de . Vamos entender como cada parte se comporta:
  • Numerador:
    A função tende a quando seu argumento vai para o infinito. Então, para grande, .
  • Denominador:
    Para grande, o termo domina, então .

Passo 3

Com base nessas observações, para grandes valores de , o termo geral da série se aproxima de:
Isso nos dá uma ideia de que a série original se comporta de forma semelhante à série , que é uma série p com .

Passo 4

Sabemos que a série converge se . No nosso caso, como , a série é uma série p convergente.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação. Como para grande:
E já sabemos que é uma série convergente (pois é uma constante multiplicada por uma série p com ), podemos concluir que a série original também converge por Teste da Comparação.

Resposta

A série
converge pelo Teste da Comparação.

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