Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como aplicar testes de convergência. Vamos usar principalmente o Teste da Comparação para chegar à conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série à medida que
cresce. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador envolvem funções de
. Vamos entender como cada parte se comporta:
-
Numerador:A função
tende a quando seu argumento vai para o infinito. Então, para grande, . -
Denominador:Para
grande, o termo domina, então .
Passo 3
Com base nessas observações, para grandes valores de
, o termo geral da série se aproxima de:
Isso nos dá uma ideia de que a série original se comporta de forma semelhante à série
, que é uma série p com
.
Passo 4
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso, como
, a série
é uma série p convergente.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teste da Comparação. Como para
grande:
E já sabemos que
é uma série convergente (pois é uma constante multiplicada por uma série p com
), podemos concluir que a série original também converge por Teste da Comparação.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.
Exercícios relacionados
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: