Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, ou seja, se a soma dela chega a um número finito à medida que somamos infinitos termos. Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries telescópicas e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
. Isso pode ser feito decompondo a fração em frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos com
:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema:
Resolvendo, encontramos
e
.
Passo 3
Agora, substituímos os valores de
e
de volta na decomposição:
Isso transforma a nossa série original em:
Passo 4
Observando a nova expressão, percebemos que a série é telescópica. Isso significa que muitos termos se cancelam ao somarmos. Vamos escrever os primeiros termos para ver isso:
Vemos que
com
cancelam,
com
, e assim por diante. No final, restará apenas o primeiro termo da primeira fração e o segundo termo da última fração.
Passo 5
Para calcular a soma da série até o infinito, consideramos
tendendo ao infinito:
Após cancelamentos, temos:
Agora, ao deixar
ir para o infinito:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.
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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: