Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, ou seja, se a soma dela chega a um número finito à medida que somamos infinitos termos. Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries telescópicas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série . Isso pode ser feito decompondo a fração em frações parciais. Queremos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos com :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema:
Resolvendo, encontramos e .

Passo 3

Agora, substituímos os valores de e de volta na decomposição:
Isso transforma a nossa série original em:

Passo 4

Observando a nova expressão, percebemos que a série é telescópica. Isso significa que muitos termos se cancelam ao somarmos. Vamos escrever os primeiros termos para ver isso:
Vemos que com cancelam, com , e assim por diante. No final, restará apenas o primeiro termo da primeira fração e o segundo termo da última fração.

Passo 5

Para calcular a soma da série até o infinito, consideramos tendendo ao infinito:
Após cancelamentos, temos:
Agora, ao deixar ir para o infinito:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine os limites das seguintes seqüências:
Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: