Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=2^infty 1k(k+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo sumk=2^infty 1k(k+1). Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, ou seja, se a soma dela chega a um número finito à medida que somamos infinitos termos. Se ela convergir, também vamos calcular qual é essa soma. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries telescópicas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série 1k(k+1). Isso pode ser feito decompondo a fração em frações parciais. Queremos encontrar números A e B tais que:
1k(k+1) = Ak + Bk+1
Multiplicando ambos os lados por k(k+1) para eliminar os denominadores:
1 = A(k+1) + Bk
Expandindo:
1 = Ak + A + Bk
Agrupando os termos com k:
1 = (A + B)k + A
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo k, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema:
A + B = 0 A = 1
Resolvendo, encontramos A = 1 e B = -1.

Passo 3

Agora, substituímos os valores de A e B de volta na decomposição:
1k(k+1) = 1k - 1k+1
Isso transforma a nossa série original em:
sumk=2^infty ( 1k - 1k+1 )

Passo 4

Observando a nova expressão, percebemos que a série é telescópica. Isso significa que muitos termos se cancelam ao somarmos. Vamos escrever os primeiros termos para ver isso:
( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + ( 14 - 15 ) + dots
Vemos que -13 com 13 cancelam, -14 com 14, e assim por diante. No final, restará apenas o primeiro termo da primeira fração e o segundo termo da última fração.

Passo 5

Para calcular a soma da série até o infinito, consideramos n tendendo ao infinito:
Sn = ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots + ( 1n - 1n+1 )
Após cancelamentos, temos:
Sn = 12 - 1n+1
Agora, ao deixar n ir para o infinito:
limn to infty Sn = 12 - 0 = 12

Resposta

A série sumk=2^infty 1k(k+1) converge e a sua soma é 12.

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