Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=2^infty 2^k+1+2.7^k9^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série. Ela pode ser dividida em duas séries separadas:
sumk=2^infty 2^k+19^k + sumk=2^infty 2 cdot 7^k9^k
Isso facilita a análise, porque podemos verificar a convergência de cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos simplificar a primeira parte:
sumk=2^infty 2^k+19^k = 2 sumk=2^infty (29)^k
Aqui, reconhecemos uma série geométrica da forma , onde . Sabemos que uma série geométrica converge se .

Passo 4

Como sumk=2^infty r^k = r^21 - r , a primeira série converge. A soma dela pode ser calculada usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
2 cdot (29)^21 - 29 = 2 cdot 48179 = 2 cdot 481 cdot 97 = 863
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda parte:
sumk=2^infty 2 cdot 7^k9^k = 2 sumk=2^infty (79)^k
Aqui, também temos uma série geométrica com .

Passo 6

Como 2 cdot (79)^21 - 79 = 2 cdot 498129 = 2 cdot 4981 cdot 92 = 499 , a segunda série também converge. Calculando a soma:

Passo 7

Agora, somamos as duas partes que já calculamos:
863 + 499 = 863 + 34363 = 35163 = 5.571428
Podemos simplificar:
35163 = 11721 = 397 approx 5.5714

Resposta

A série converge e a sua soma é ou aproximadamente .

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