Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série converge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série. Ela pode ser dividida em duas séries separadas:
Isso facilita a análise, porque podemos verificar a convergência de cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos simplificar a primeira parte:
Aqui, reconhecemos uma série geométrica da forma , onde . Sabemos que uma série geométrica converge se .

Passo 4

Como , a primeira série converge. A soma dela pode ser calculada usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda parte:
Aqui, também temos uma série geométrica com .

Passo 6

Como , a segunda série também converge. Calculando a soma:

Passo 7

Agora, somamos as duas partes que já calculamos:
Podemos simplificar:

Resposta

A série converge e a sua soma é ou aproximadamente .

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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
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