Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e propriedades de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série. Ela pode ser dividida em duas séries separadas:
Isso facilita a análise, porque podemos verificar a convergência de cada parte individualmente.
Passo 3
Vamos simplificar a primeira parte:
Aqui, reconhecemos uma série geométrica da forma
, onde
. Sabemos que uma série geométrica converge se
.
Passo 4
Como
, a primeira série converge. A soma dela pode ser calculada usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda parte:
Aqui, também temos uma série geométrica com
.
Passo 6
Como
, a segunda série também converge. Calculando a soma:
Passo 7
Agora, somamos as duas partes que já calculamos:
Podemos simplificar:
Resposta
A série converge e a sua soma é
ou aproximadamente
.
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Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
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