Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k!e^3 k

Passo 1

Vamos analisar a série . O conteúdo principal aqui é** séries infinitas** e vamos usar o teste da razão para verificar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da razão, que é útil para séries com termos que envolvem fatoriais. O teste da razão diz que se :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular ak+1ak = (k+1)!e^3(k+1) div k!e^3k = (k+1)!e^3k+3 times e^3kk! = k+1e^3 :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limk to infty k+1e^3 = infty tende ao infinito:

Passo 5

Como o limite é , pelo teste da razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão.

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