Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite da sequência quando tende ao infinito é igual a 3. Isso funciona com o conteúdo de limites de sequências. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que basicamente diz que podemos aproximar o valor limite quanto quisermos, escolhendo um grande o suficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno positivo , podemos encontrar um número tal que, para todo , a diferença entre e 3 seja menor que . Em fórmula, queremos que:
Passo 3
Vamos calcular essa diferença:
Para simplificar, colocamos as frações juntas:
= | 3n - 1 - 3(n + 1)n + 1 |
Distribuindo o 3 no numerador:
= | 3n - 1 - 3n - 3n + 1 |
Simplificando:
= | -4n + 1 | = 4n + 1
Passo 4
Agora, queremos que essa diferença seja menor que 4n + 1 < epsilon :
n + 1 > 4epsilon Rightarrow n > 4epsilon - 1
Para encontrar , resolvemos a inequação:
Então, podemos escolher como sendo qualquer número maior que .
Passo 5
Com isso, garantimos que para todo limn infty an = 3 , a diferença será menor que . Isso confirma, de acordo com a definição de limite, que: