Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite da sequência quando tende ao infinito é igual a 3. Isso funciona com o conteúdo de limites de sequências. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que basicamente diz que podemos aproximar o valor limite quanto quisermos, escolhendo um grande o suficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno positivo , podemos encontrar um número tal que, para todo , a diferença entre e 3 seja menor que . Em fórmula, queremos que:

Passo 3

Vamos calcular essa diferença:
Para simplificar, colocamos as frações juntas:
Distribuindo o 3 no numerador:
Simplificando:

Passo 4

Agora, queremos que essa diferença seja menor que :
Para encontrar , resolvemos a inequação:
Então, podemos escolher como sendo qualquer número maior que .

Passo 5

Com isso, garantimos que para todo , a diferença será menor que . Isso confirma, de acordo com a definição de limite, que:

Resposta

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