Use a definição de limite para provar que lim n infty an=L nos casos abaixo:
an=3 n-1n+1 ; L=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite da sequência quando tende ao infinito é igual a 3. Isso funciona com o conteúdo de limites de sequências. Para resolver, vamos usar a definição de limite, que basicamente diz que podemos aproximar o valor limite quanto quisermos, escolhendo um grande o suficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |an - 3| < epsilon . Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno positivo , podemos encontrar um número tal que, para todo , a diferença entre e 3 seja menor que . Em fórmula, queremos que:

Passo 3

Vamos calcular essa diferença:
|an - 3| = | 3n - 1n + 1 - 3 |
Para simplificar, colocamos as frações juntas:
= | 3n - 1 - 3(n + 1)n + 1 |
Distribuindo o 3 no numerador:
= | 3n - 1 - 3n - 3n + 1 |
Simplificando:
= | -4n + 1 | = 4n + 1

Passo 4

Agora, queremos que essa diferença seja menor que 4n + 1 < epsilon :
n + 1 > 4epsilon Rightarrow n > 4epsilon - 1
Para encontrar , resolvemos a inequação:
Então, podemos escolher como sendo qualquer número maior que .

Passo 5

Com isso, garantimos que para todo limn infty an = 3 , a diferença será menor que . Isso confirma, de acordo com a definição de limite, que:

Resposta

limn infty 3n - 1n + 1 = 3

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