Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é dada por:
Podemos simplificar os termos com potências de 2:
Substituindo de volta na fração:
Então, a série simplificada fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Observando a forma da série , percebemos que é uma série do tipo potência exponencial onde o termo geral possui uma potência de no numerador e uma base exponencial no denominador.
Para séries desse tipo, um bom teste a ser aplicado é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil para séries com termos envolvendo fatoriais ou potências.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , calculamos:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.