Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é dada por:
Podemos simplificar os termos com potências de 2:
Substituindo de volta na fração:
Então, a série simplificada fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Observando a forma da série , percebemos que é uma série do tipo potência exponencial onde o termo geral possui uma potência de no numerador e uma base exponencial no denominador.
Para séries desse tipo, um bom teste a ser aplicado é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil para séries com termos envolvendo fatoriais ou potências.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , calculamos:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular para nossa série:
Agora, formamos a razão:
Simplificando:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Como o limite , pelo Teste da Razão, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão dos termos consecutivos é .

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Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
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Use a definição de limite para provar que nos casos abaixo: