Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k^3 2^k+32^2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sum k^3 2^k+32^2 k converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. A série é dada por:
k^3 2^k+32^2 k
Podemos simplificar os termos com potências de 2:
2^k+3 = 2^k cdot 2^3 = 8 cdot 2^k
Substituindo de volta na fração:
k^3 cdot 8 cdot 2^k2^2 k = 8k^3 cdot 2^k2^2k = 8k^3 cdot 2^-k = 8k^32^k
Então, a série simplificada fica:
sumk=1^infty 8k^32^k

Passo 3

Agora, precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Observando a forma da série k^32^k, percebemos que é uma série do tipo potência exponencial onde o termo geral possui uma potência de k no numerador e uma base exponencial no denominador.
Para séries desse tipo, um bom teste a ser aplicado é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil para séries com termos envolvendo fatoriais ou potências.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série sum ak, calculamos:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular L para nossa série:
ak = 8k^32^k ak+1 = 8(k+1)^32^k+1
Agora, formamos a razão:
ak+1ak = 8(k+1)^32^k+1 cdot 2^k8k^3 = (k+1)^32k^3
Simplificando:
(k+1)^32k^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 12k^3 = 1 + 3k + 3k^2 + 1k^32
Agora, vamos calcular o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty 1 + 3k + 3k^2 + 1k^32 = 1 + 0 + 0 + 02 = 12

Passo 5

Como o limite L = 12 < 1, pelo Teste da Razão, concluímos que a série converge.

Resposta

A série sum k^3 2^k+32^2 k converge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão dos termos consecutivos é 12 < 1.

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