Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k!k^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas em Cálculo, mais especificamente na análise da convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão (ou Teste da Série de Razão), que nos ajuda a verificar se uma série infinita converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limk to infty | ak+1ak | , calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série onde .

Passo 3

Vamos calcular o limite L = limk to infty ak+1ak = limk to infty (k+1)!(k+1)^k+1 cdot k^kk! :
Simplificando:
Cancelando L = limk to infty (k+1) cdot k^k(k+1)^k+1 = limk to infty (k+1) cdot k^k(k+1)^k cdot (k+1) :
L = limk to infty ( kk+1 )^k
Agora, sabemos que:
limk to infty ( kk+1 )^k = 1e
Então,
L = 1e approx 0,3679

Passo 4

Como o limite é menor que 1 ( ), de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão, já que o limite da razão entre termos consecutivos é menor que 1.

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