Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a série converge absolutamente ou converge condicionalmente. Isso está ligado ao estudo de séries numéricas, especialmente séries alternadas. Para resolver, vamos usar dois testes: o Teste de Convergência Absoluta e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente olha para a série dos valores absolutos dos termos, ou seja:
Essa série é parecida com a série harmônica, que é , e sabemos que a série harmônica diverge. Como é maior que e a série também diverge (só que é metade da série harmônica), concluímos que a série dos valores absolutos também diverge. Portanto, não converge absolutamente.

Passo 3

Agora, vamos ver se a série converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos positivos da série estão diminuindo e tendem a zero conforme aumenta, então a série alternada converge.
Vamos verificar:
  1. está diminuindo porque, conforme aumenta, aumenta, então diminui.
  2. .
Como os dois requisitos do teste são satisfeitos, a série converge condicionalmente.

Resposta

(a) A série não converge absolutamente; (b) A série converge condicionalmente.

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