Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum ln ke^k

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita representada por sum ln ke^k. O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge e, além disso, explicar qual teste foi utilizado para essa conclusão. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: ak = ln ke^k. Queremos saber se a soma desses termos, à medida que tende ao infinito, resulta em um valor finito (converge) ou se continua aumentando sem limite (diverge).

Passo 3

Vamos usar o Teste da Razão para determinar a convergência da série. Esse teste é útil para séries cujo termo geral envolve fatores exponenciais ou fatoriais. O Teste da Razão consiste em calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se , a série converge absolutamente. Se , a série diverge. Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular o limite L = limk to infty | ln(k+1)e^k+1ln ke^k | = limk to infty ln(k+1)ln k cdot e^ke^k+1 = limk to infty ln(k+1)ln k cdot 1e :
limk to infty ln(k+1)ln k = 1
Agora, observamos que:
L = 1 cdot 1e = 1e approx 0,3679
Então:

Passo 5

Como o limite é menor que 1 ( ), de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sum ln ke^k converge pelo Teste da Razão.

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