Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Isso tá ligado ao conteúdo de séries infinitas e aos testes de convergência que usamos pra analisar se uma série soma a um valor finito ou não. Vamos precisar usar um teste de convergência adequado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual teste aplicar. Nesse caso, o Teste da Razão é uma ótima opção. Esse teste ajuda a determinar a convergência de séries onde os termos envolvem fatorias ou potências, como é o caso aqui.
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja,
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, ak+1 = (k+1) cdot 3^k+1(k+2)! . Vamos calcular ak+1ak = (k+1) cdot 3^k+1 cdot (k+1)!(k+2)! cdot k cdot 3^k = 3(k+1)(k+2) cdot k :
ak+1ak = 3(k+1)k(k+2)
Agora, a razão fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty 3(k+1)k(k+2) = limk to infty 3k + 3k^2 + 2k = limk to infty 3 + 3kk + 2 = 3infty = 0 tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.
Resposta
A série sum k cdot 3^k(k+1)!converge pelo Teste da Razão.