Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k 3^k(k+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série sum k cdot 3^k(k+1)! converge ou diverge. Isso tá ligado ao conteúdo de séries infinitas e aos testes de convergência que usamos pra analisar se uma série soma a um valor finito ou não. Vamos precisar usar um teste de convergência adequado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual teste aplicar. Nesse caso, o Teste da Razão é uma ótima opção. Esse teste ajuda a determinar a convergência de séries onde os termos envolvem fatorias ou potências, como é o caso aqui.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja,
L = limk to infty | ak+1ak |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, ak+1 = (k+1) cdot 3^k+1(k+2)! . Vamos calcular ak+1ak = (k+1) cdot 3^k+1 cdot (k+1)!(k+2)! cdot k cdot 3^k = 3(k+1)(k+2) cdot k :
ak+1ak = 3(k+1)k(k+2)
Agora, a razão fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty 3(k+1)k(k+2) = limk to infty 3k + 3k^2 + 2k = limk to infty 3 + 3kk + 2 = 3infty = 0 tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sum k cdot 3^k(k+1)! converge pelo Teste da Razão.

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