Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Isso tá ligado ao conteúdo de séries infinitas e aos testes de convergência que usamos pra analisar se uma série soma a um valor finito ou não. Vamos precisar usar um teste de convergência adequado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual teste aplicar. Nesse caso, o Teste da Razão é uma ótima opção. Esse teste ajuda a determinar a convergência de séries onde os termos envolvem fatorias ou potências, como é o caso aqui.
Passo 3
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja,
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, . Vamos calcular :
Agora, a razão fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge.