Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série converge ou diverge. Aqui estamos lidando com séries infinitas, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é bem útil para séries com fatoriais e potências, como é o caso dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série: .
Lembrando que , então podemos reescrever:
Isso simplifica um pouco a nossa análise.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos diz para calcular o limite:
Onde .
Vamos calcular :
Agora, a razão:
Passo 4
Calculamos o limite :
Passo 5
Interpretando o resultado: segundo o Teste da Razão, se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.