Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série converge ou diverge. Aqui estamos lidando com séries infinitas, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é bem útil para séries com fatoriais e potências, como é o caso dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série: .
Lembrando que , então podemos reescrever:
Isso simplifica um pouco a nossa análise.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos diz para calcular o limite:
Onde ak+1 = (k+3)(k+2)4!2^k+1 = (k+3)(k+2)4!2 cdot 2^k .