Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série converge ou diverge. Aqui estamos lidando com séries infinitas, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é bem útil para séries com fatoriais e potências, como é o caso dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série: .
Lembrando que , então podemos reescrever:
Isso simplifica um pouco a nossa análise.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos diz para calcular o limite:
Onde .
Vamos calcular :
Agora, a razão:

Passo 4

Calculamos o limite :

Passo 5

Interpretando o resultado: segundo o Teste da Razão, se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
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Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
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