Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum (k+2)!4!k!2^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série converge ou diverge. Aqui estamos lidando com séries infinitas, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é bem útil para séries com fatoriais e potências, como é o caso dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série: (k+2)!4!k!2^k = (k+2)(k+1)k!4!k!2^k = (k+2)(k+1)4!2^k .
Lembrando que , então podemos reescrever:
Isso simplifica um pouco a nossa análise.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos diz para calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde ak+1 = (k+3)(k+2)4!2^k+1 = (k+3)(k+2)4!2 cdot 2^k .
Vamos calcular ak+1ak = (k+3)(k+2)4!2 cdot 2^k cdot 4!2^k(k+2)(k+1) = (k+3)2(k+1) :
Agora, a razão:

Passo 4

Calculamos o limite L = limk to infty (k+3)2(k+1) = limk to infty k + 32k + 2 = 12 :

Passo 5

Interpretando o resultado: segundo o Teste da Razão, se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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