Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado: sum k!e^3 k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar testes de convergência de séries, como o Teste da Razão, que é bem útil quando trabalhamos com fatoriais e exponenciais.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência de uma série calculando o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Se chamarmos L = limk to infty | ak+1ak | , então precisamos calcular:

Passo 4

Calculando a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1)!e^3(k+1) cdot e^3kk! = (k+1) cdot k!e^3k + 3 cdot e^3kk! = k+1e^3

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
L = limk to infty k+1e^3 = infty

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, se , a série diverge.

Resposta

A série diverge, pelo Teste da Razão.

Exercícios relacionados