Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente. sumk=2^infty (-1)^k(k^3 / 2+3 k)7-k^2+2 k^5 / 2

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma série infinita:
sumk=2^infty (-1)^k(k^3 / 2+3 k)7 - k^2 + 2 k^5 / 2
Nosso objetivo é verificar:
(a) Se a série converge absolutamente;
(b) Se a série converge condicionalmente.
Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e aplicar testes apropriados para determinar o tipo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
  • Convergência Absoluta: Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos de seus termos também converge. Ou seja, se converge, então converge absolutamente.
  • Convergência Condicional: Uma série converge condicionalmente se ela converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Para determinar qual das duas ocorre, vamos primeiro analisar a série dos valores absolutos.

Passo 3

Vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumk=2^infty | (-1)^k(k^3 / 2+3 k)7 - k^2 + 2 k^5 / 2 | = sumk=2^infty k^3 / 2 + 3k|7 - k^2 + 2k^5 / 2|
Observando o denominador, para valores grandes de |7 - k^2 + 2k^5 / 2| approx 2k^5 / 2 , os termos de maior grau dominam. Assim, podemos simplificar:
k^3 / 2 + 3k approx k^3 / 2
E no numerador:
k^3 / 22k^5 / 2 = 12k
Portanto, para grande, o termo geral da série dos valores absolutos se comporta como:

Passo 4

Agora, comparamos nossa série com a série harmônica:
sumk=2^infty 1k
Sabemos que a série harmônica diverge. Como nosso termo geral é comparável a , podemos usar o Teste da Comparação para concluir que a série dos valores absolutos também diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar se ela converge condicionalmente.
Observamos que a série original é uma série alternada, pois possui o termo . Para séries alternadas, podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que afirma que se:
  1. Os termos são positivos,
  2. é decrescente,
  3. ,
então a série alternada converge.

Passo 6

Vamos verificar as condições do Teste da Série Alternada.
  1. Termos Positivos: limk to infty k^3 / 2 + 3k7 - k^2 + 2k^5 / 2 = limk to infty k^3 / 22k^5 / 2 = limk to infty 12k = 0 é positivo para , já que tanto o numerador quanto o denominador são positivos.
  2. Decrescente: Para grande, se comporta como , que é claramente decrescente.
  3. Limite Zero:
Todas as condições do teste são atendidas.

Passo 7

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série original converge condicionalmente.

Resposta

(a) A série não converge absolutamente.
(b) A série converge condicionalmente.

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