Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma série infinita:
Nosso objetivo é verificar:
(a) Se a série converge absolutamente;
(b) Se a série converge condicionalmente.
Para isso, vamos utilizar conceitos de convergência de séries e aplicar testes apropriados para determinar o tipo de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional.
Convergência Absoluta: Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos de seus termos também converge. Ou seja, se converge, então converge absolutamente.
Convergência Condicional: Uma série converge condicionalmente se ela converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Para determinar qual das duas ocorre, vamos primeiro analisar a série dos valores absolutos.
Passo 3
Vamos considerar a série dos valores absolutos:
Observando o denominador, para valores grandes de |7 - k^2 + 2k^5 / 2| approx 2k^5 / 2 , os termos de maior grau dominam. Assim, podemos simplificar:
k^3 / 2 + 3k approx k^3 / 2
E no numerador:
k^3 / 22k^5 / 2 = 12k
Portanto, para grande, o termo geral da série dos valores absolutos se comporta como:
Passo 4
Agora, comparamos nossa série com a série harmônica:
sumk=2^infty 1k
Sabemos que a série harmônica diverge. Como nosso termo geral é comparável a , podemos usar o Teste da Comparação para concluir que a série dos valores absolutos também diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar se ela converge condicionalmente.
Observamos que a série original é uma série alternada, pois possui o termo . Para séries alternadas, podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que afirma que se:
Os termos são positivos,
é decrescente,
,
então a série alternada converge.
Passo 6
Vamos verificar as condições do Teste da Série Alternada.
Termos Positivos: limk to infty k^3 / 2 + 3k7 - k^2 + 2k^5 / 2 = limk to infty k^3 / 22k^5 / 2 = limk to infty 12k = 0 é positivo para , já que tanto o numerador quanto o denominador são positivos.
Decrescente: Para grande, se comporta como , que é claramente decrescente.
Limite Zero:
Todas as condições do teste são atendidas.
Passo 7
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série original converge condicionalmente.