Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma. sumk=1^infty 3^k3^k / 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa analisar se a série sumk=1^infty 3^k3^k / 2 converge ou não. Se ela convergir, a gente também tem que descobrir qual é a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nossa análise. Temos:
3^k3^k / 2 = 3^k - k2 = 3^k2
Então, a série original fica:
sumk=1^infty 3^k2

Passo 3

Agora, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série que apareceu é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumk=0^infty ar^k
Onde:
  • sumk=1^infty (3^12)^k = sumk=1^infty (raiz3)^k é o primeiro termo,
  • é a razão da série.
No nosso caso, podemos reescrever a série como:
Então, aqui a razão é .

Passo 4

Para determinar a convergência de uma série geométrica, a gente olha para o valor de :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
No nosso caso, , que é maior que 1. Então, de acordo com a regra das séries geométricas, a nossa série diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty 3^k3^k / 2 diverge.

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