Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa analisar se a série
converge ou não. Se ela convergir, a gente também tem que descobrir qual é a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nossa análise. Temos:
Então, a série original fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série que apareceu é uma série geométrica, que tem a forma geral:
Onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão da série.
No nosso caso, podemos reescrever a série como:
Então, aqui a razão
é
.
Passo 4
Para determinar a convergência de uma série geométrica, a gente olha para o valor de
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
No nosso caso,
, que é maior que 1. Então, de acordo com a regra das séries geométricas, a nossa série diverge.
Resposta
A série
diverge.